良い数学問題とは何か？解く側と作る側の両方から考える

「良い数学の問題」とは、どんな問題でしょうか。難しい問題でしょうか。それとも、答えが美しい問題でしょうか。解く側として問題に出会うだけでなく、作る側に回ってみると、この問いの答えが少しずつ見えてきます。この記事では、1つの問題を題材に、良い問題の条件を考えます。

まず、不思議な計算を眺めてみる

次の計算をしてみてください。

• $3\times5+1=16$
• $5\times7+1=36$
• $7\times9+1=64$

答えは16、36、64で、すべて平方数（$4^2$、$6^2$、$8^2$）です。偶然でしょうか。それとも、連続する2つの奇数の積に1を足すと、いつも平方数になるのでしょうか。

考えてみましょう。連続する2つの奇数は、$2k-1$ と $2k+1$ と書けます。

$$(2k-1)(2k+1)+1=4k^2-1+1=4k^2=(2k)^2$$

この式は、積に1を足すと、2つの奇数の間にある偶数 $2k$ の2乗になる、ということを表しています。$3\times5+1$ なら、間の偶数は4で、$4^2=16$ です。偶然ではなく、必ず成り立つ性質だと分かりました。

さらに、問題を広げてみます。連続する4つの整数の積に1を足すと、どうなるでしょう。$1\times2\times3\times4+1=25=5^2$、$2\times3\times4\times5+1=121=11^2$、$3\times4\times5\times6+1=361=19^2$ と、やはり平方数です。

$$n(n+1)(n+2)(n+3)+1=(n^2+3n+1)^2$$

この式が成り立つ理由は、$n(n+3)=n^2+3n$、$(n+1)(n+2)=n^2+3n+2$ と、両端の積と真ん中の積に分けるとわかります。$m=n^2+3n$ とおくと、左辺は $m(m+2)+1=(m+1)^2$ になるのです。

解く側から見た、良い問題の条件

この例には、解く側にとって楽しい問題の特徴が詰まっています。

• 入口がある：まず数を入れてみる、という誰でもできる一歩から始められます。
• 驚きがある：「いつも平方数になる」という意外な事実に、「なぜ？」が生まれます。
• 自分で確かめられる：数を代入して、予想が正しいか検算できます。
• その先がある：連続する2つの奇数から、4つの整数へと、問題を広げられます。

難しいかどうかは、良い問題の必須条件ではありません。簡単に始められて、深いところまで続いていく問題が、多くの人に愛されます。

作る側から見た、良い問題の条件

問題を作る側に回ると、別の難しさが見えてきます。

まず、「答えから作る」方法があります。たとえば、先ほどの問題は、「平方数になる式」を逆に眺めて、「連続する奇数の積に1を足す形」を作ったとも言えます。

次に、条件の過不足の確認です。問題の条件が足りないと、答えが複数出てしまいます。多すぎると、矛盾してしまいます。パズルを作るときは、自分で何度も解いて、答えが1つに決まるかを確かめる必要があります。

さらに、「解き方に出会いがあるか」も大切です。最後に答えを聞いて「なるほど」と思える仕掛けがあると、解いた人の記憶に残ります。

問題を人と共有する楽しさ

問題を作ると、自分では思いつかなかった解き方に出会うことがあります。同じ問題でも、人によって解き方が違い、その違いが新しい発見につながります。Qraftのように、問題を投稿して他の人の解法を見られる場は、まさにそうした出会いを楽しむための場所です。解くだけでなく、作る側に回ってみると、問題の見え方が変わります。

まとめ

良い問題には、入口があり、驚きがあり、自分で確かめられて、その先に広がりがあります。作る側から見ると、答えを先に決めて逆から作る、条件の過不足を確かめる、という工夫も必要です。次に面白いと思った問題に出会ったら、「なぜこの問題は面白いのか」を、一度考えてみてください。そして、自分でも1問、作ってみませんか。