規則性を見つける問題はどこを見る？具体例から考える

「2、5、10、17、26……次はいくつ？」のような規則性の問題は、見つかれば気持ちがよく、見つからないとどこを見たらいいのか分からない問題です。実は、規則を探すときに見る場所には、いくつかの決まった型があります。この記事では、具体的な問題を使って、その型と、規則を見つけたあとの注意点を紹介します。

見るのは「値」ではなく「差」と「位置」

2、5、10、17、26 の次は何でしょうか。値をじっと眺めても分かりにくいので、まず隣同士の差を取ってみます。差は 3、5、7、9 で、2ずつ増えています。次の差は11のはずなので、次の数は $26+11=37$ です。

差を見る方法は、次の値を予想するのに便利です。一方、「100番目の数はいくつか」を知りたいときは、別の見方が必要です。それが「位置（何番目か）と値の関係」です。各数から1を引くと、1、4、9、16、25 になります。これは $1^2,2^2,3^2,4^2,5^2$ です。したがって、$n$ 番目の数は $n^2+1$ と分かり、100番目は $100^2+1=10001$ です。前の方法で出した次の数も確かめられます。6番目は $6^2+1=37$ で、ぴったり一致します。

数字だけで分からなければ、図に戻る

1+3+5+7+……と奇数を順に足すと、1、4、9、16となり、平方数が並びます。なぜでしょうか。

1個の正方形の周りに、L字の形で3個を足すと、一辺2個の正方形（4個）になります。さらにL字で5個を足すと、一辺3個の正方形（9個）です。L字に並べる個数は、いつも次の奇数になっています。式にすると、次のとおりです。

$$1+3+5+\cdots+(2n-1)=n^2$$

この式は、「$n$ 個の奇数を小さい順に足すと、$n$ 個×$n$ 個の正方形ができる」ことを表しています。この性質を使えば、$1+3+5+\cdots+99$ もすぐ求められます。99は $2\times50-1$ なので50個の奇数の和であり、答えは $50^2=2500$ です。規則を見つけたら、図で「なぜ」を確かめると、理解が深まります。

規則は「予想」にすぎない

規則が見つかったとき、安心しすぎるのは危険です。円周上に $n$ 個の点をとり、すべての点を弦で結んだとき、円の内部が何個の領域に分かれるかを考えます（どの3本の弦も円の内部の1点で交わらないものとします）。$n=1,2,3,4,5$ のとき、領域の数は 1、2、4、8、16 です。

倍々になっているので、$n=6$ では32個だと予想したくなります。しかし、実際には31個です。数えてみると分かるとおり、この規則は5番目までは当てはまっても、6番目で崩れます。規則を見つけたらそれは「予想」であり、成り立つ理由を図や式で説明できて、初めて確かな事実になります。

規則性を探す手順

最後に、手順をまとめておきます。まず、5〜6個ほど書き出します。次に、差を取る、位置と値の関係を見る、図にする、のどれかを試します。予想を立てたら、次の値を予測して、実際に確かめます。最後に、理由を説明してみます。

練習として、1、2、4、7、11、16 の次の数を考えてみてください。差は 1、2、3、4、5 なので、次の差は6、答えは22です。

まとめ

規則性の問題では、「差」と「位置と値の関係」を見ること、困ったら図に戻ること、見つけた規則は予想として扱うことが大切です。規則を見つける力は、数列の問題だけでなく、現象の中にある法則を見つける力にもつながります。次に数の並びを見たら、まず差を取ってみてください。