場合の数で数え漏れを防ぐための整理方法

場合の数の問題で答えが合わないとき、原因は公式の使い間違いではなく、「数え漏れ」や「数え重ね」であることがよくあります。数え方に決まった型を持っておくと、ミスはぐっと減ります。この記事では、4つの整理の方法を、具体的な問題を通して紹介します。

最初に決める：何を区別して数えるか

2つのさいころを振って、目の和が7になるのは何通りでしょうか。2つのさいころを区別するなら、$(1,6)$、$(2,5)$、$(3,4)$、$(4,3)$、$(5,2)$、$(6,1)$ の6通りです。区別せず「1と6の組」「2と5の組」「3と4の組」と数えれば3組です。

どちらも間違いではありません。ただし、確率を求めるなら、全体は区別した36通りで数えるので、和が7になる確率は $\frac{6}{36}=\frac{1}{6}$ になります。大事なのは、問題を解き始める前に「何を同じとみなし、何を区別するか」を決めておくことです。途中で基準が変わると、数え漏れや数え重ねが起きます。

制限の強いところから決める

1、2、3、4、5の5枚のカードから3枚を選んで並べ、3桁の偶数を作ります。何通りできるでしょうか。

偶数という条件が関わるのは一の位だけです。制限のあるところから先に決めるのがコツです。一の位は2か4の2通り。残りの4枚から2枚を選んで百の位と十の位に並べる方法は、$4\times3=12$ 通りです。したがって、全部で次のようになります。

$$2\times 4\times 3 = 24$$

この式は、一の位の選び方（2通り）に、百の位（4通り）、十の位（3通り）を順に掛けたものです。

では、カードを0、1、2、3、4にすると、どうなるでしょう。ここには罠があります。百の位に0は置けません。そこで、場合を分けます。一の位が0のとき、残りの4枚から2枚を並べて $4\times3=12$ 通り。一の位が2か4のとき（2通り）は、百の位が0以外の3通り、十の位が残り3枚で3通りなので、$2\times3\times3=18$ 通り。合計は $12+18=30$ 通りです。

「でない」「少なくとも」は余事象で

2つのさいころの和が8以上になるのは何通りでしょうか。直接数えてもよいのですが、和が7以下の場合を数えて、全体から引く方法があります。和が2から7になる組の数は、順に1、2、3、4、5、6通りで、合計21通りです。よって、$36-21=15$ 通りです。

「少なくとも」「〜でない」という言葉が出てきたら、余事象（その事柄が起こらない場合）を考える合図です。この問題を直接数えて、和が8から12の場合が $5+4+3+2+1=15$ 通りになることを確かめると、検算にもなります。

最後に別の方法で検算する

数え漏れを減らす最大の対策は、別の方法でもう一度数えることです。先ほどの0から4のカードの問題なら、奇数の個数を数えてみます。一の位が1か3の2通りで、百の位は0以外の3通り、十の位が残りの3通りなので、$2\times3\times3=18$ 通りです。3桁の整数の総数は、百の位が4通り、十の位が4通り、一の位が3通りで $4\times4\times3=48$ 通りなので、偶数30と奇数18を足すと、ちょうど48になります。数え方が違っても、足して全体に合えば、答えにぐっと自信が持てます。

まとめ

数え漏れを防ぐ方法は、①何を区別するかを最初に決める、②制限の強いところから決める、③「でない」「少なくとも」は余事象を使う、④別の方法で検算する、の4つでした。場合の数は、公式を覚える以上に、数える順序を整える練習だと言えます。次に問題を解くときは、式を書く前に「最初に何を決めるか」を、一度だけ考えてみてください。