同じ答えでも解き方が違う――別解を探す面白さ

数学の問題を解いて答えが合っていたら、そこで終わりにしてしまうのが普通です。けれども、「もう一つ別の解き方はないだろうか」と考えてみると、同じ答えにたどり着く道が何本もあることに気づきます。この記事では、1つの問題を3通りの方法で解きながら、別解を探す面白さと、その意味を考えます。

問題：3の倍数または5の倍数は何個？

問題：1から100までの整数のうち、3の倍数または5の倍数であるものは何個あるでしょうか。

まず、あなたならどう解くか、少し考えてみてください。ここでは3つの方法を紹介します。

解法1：ダブりを引く（包除の考え方）

3の倍数は、$100\div3=33.3\cdots$ なので33個。5の倍数は $100\div5=20$ 個です。この2つを足すと $33+20=53$ 個ですが、3と5の両方の倍数（つまり15の倍数）は2回数えてしまっています。15の倍数は $100\div15=6.6\cdots$ より6個なので、1回分を引きます。

$$33+20-6=47$$

この式は、「3の倍数の個数と5の倍数の個数を足し、両方に数えてしまった15の倍数の個数を1回分引く」という意味です。答えは47個です。

解法2：周期を見つける

3と5の最小公倍数は15です。倍数かどうかの様子は、15個ごとに同じ形が繰り返されます。1から15までの中の、3の倍数または5の倍数は、3、5、6、9、10、12、15 の7個です。

100までには、15個のまとまりが6回（90まで）あるので、$7\times6=42$ 個。残りの91から100では、93（3の倍数）、95（5の倍数）、96（3の倍数）、99（3の倍数）、100（5の倍数）の5個です。合計は $42+5=47$ 個で、解法1と一致しました。

解法3：余事象で数える

3の倍数でも5の倍数でもない数を数えて、100から引く方法もあります。1から15までの中で、どちらでもない数は、1、2、4、7、8、11、13、14 の8個です。6回で48個、91から100の中でどちらでもない数は、91、92、94、97、98 の5個です。合計は53個で、$100-53=47$ 個となり、またしても一致します。

別解を探すと、何が良いのか

3つの方法で、47という同じ答えが出ました。別解を探すことには、少なくとも3つの良さがあります。

• 検算になる：まったく別の方法で同じ答えが出れば、答えへの自信が高まります。
• 理解が深まる：解法2では、「倍数の様子が15個ごとに繰り返す」という構造が見えました。解法1の公式の意味が、より立体的に分かります。
• 使い分けられる：数が大きいときは、解法1が圧倒的に速くなります。小さい数や、特殊な条件があるときは、周期や余事象が役立ちます。

大事なのは、「どの解法が一番優れているか」を決めることではなく、問題によって、使いやすい道が違うと知っておくことです。

まとめ

1から100の中の3の倍数または5の倍数は47個で、包除・周期・余事象という3通りの方法で確かめられました。別解を探すことは、検算になり、理解を深め、解き方の引き出しを増やします。次に問題が解けたら、一度だけ立ち止まって、「別の道はないか」と探してみてください。同じ山頂に、いくつもの登山道があることに気づくはずです。